Nếu ta có một biến ngẫu nhiên X trên Ω và một hàm đo được (measurable function) f: R → R, thì Y = f(X) cũng là một biến ngẫu nhiên trên Ω, do hợp của các hàm đo được cũng là một hàm đo được. Có thể sử dụng quy trình cho phép đi từ một không gian xác suất (Ω, P) tới (R, dFX) để thu được phân bố của Y. Hàm phân bố tích lũy của Y là

F Y ( y ) = P ⁡ ( f ( X ) ≤ y ) . {\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (f(X)\leq y).}

Ví dụ

Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục giá trị thực và Y = X2. Khi đó,

F Y ( y ) = P ⁡ ( X 2 ≤ y ) . {\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}

Nếu y < 0, thì P(X2 ≤ y) = 0, do đó

F Y ( y ) = 0 if y < 0. {\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}

Nếu y ≥ 0, thì

P ⁡ ( X 2 ≤ y ) = P ⁡ ( | X | ≤ y ) = P ⁡ ( − y ≤ X ≤ y ) , {\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}

do đó

F Y ( y ) = F X ( y ) − F X ( − y ) {\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})} nếu y ≥ 0. {\displaystyle y\geq 0.}